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### 顯式格式的離散方程 對方程 $$\frac{\partial C}{\partial t} = -u\frac{\partial C}{\partial x} + D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} -k(C_s - C)$$ 進(jìn)行顯式有限差分離散，步驟如下： 1. **網(wǎng)格劃分** - 空間步長：$\Delta x = L/(N-1)$，位置點(diǎn)$x_i = i\Delta x$ - 時間步長：$\Delta t$，時間點(diǎn)$t_n = n\Delta t$ - 濃度值記為$C_i^n = C(x_i, t_n)$ 2. **項(xiàng)離散化** - **時間導(dǎo)數(shù)**（前向差分）： $$\frac{\partial C}{\partial t} \approx \frac{C_i^{n+1} - C_i^n}{\Delta t}$$ - **對流項(xiàng)**（迎風(fēng)格式）： $$-u\frac{\partial C}{\partial x} \approx -u\frac{C_i^n - C_{i-1}^n}{\Delta x}$$ - **擴(kuò)散項(xiàng)**（中心差分）： $$D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \approx D\frac{C_{i+1}^n - 2C_i^n + C_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}$$ - **復(fù)氧項(xiàng)**（直接離散）： $$-k(C_s - C) \approx -k(C_s - C_i^n)$$ 3. **組合離散方程** 將上述離散項(xiàng)代入原方程并整理： $$ C_i^{n+1} = C_i^n + \Delta t \left[ -\frac{u}{\Delta x}(C_i^n - C_{i-1}^n) + \frac{D}{(\Delta x)^2}(C_{i+1}^n - 2C_i^n + C_{i-1}^n) -k(C_s - C_i^n) \right] $$ 進(jìn)一步合并同類項(xiàng)得顯式格式： $$ C_i^{n+1} = \left(1 + k\Delta t - \frac{u\Delta t}{\Delta x} - \frac{2D\Delta t}{(\Delta x)^2}\right)C_i^n + \frac{u\Delta t}{\Delta x}C_{i-1}^n + \frac{D\Delta t}{(\Delta x)^2}C_{i+1}^n - k\Delta t C_s $$ --- ### 穩(wěn)定性條件推導(dǎo) 采用馮·諾依曼穩(wěn)定性分析，假設(shè)誤差解為$C_i^n = G^n e^{i\theta i\Delta x}$，代入離散方程求增長因子$G$的模條件$|G| \leq 1$。 1. **誤差方程代入** 將$C_i^n = G^n e^{i\theta i\Delta x}$代入顯式離散方程，整理得： $$ G = 1 + k\Delta t - \frac{u\Delta t}{\Delta x}(1 - e^{-i\theta\Delta x}) - \frac{2D\Delta t}{(\Delta x)^2}(1 - e^{i\theta\Delta x}) - k\Delta t e^{-i\theta\Delta x} $$ 2. **三角函數(shù)化簡** 利用$e^{i\theta\Delta x} = \cos(\theta\Delta x) + i\sin(\theta\Delta x)$，化簡后得： $$ G = 1 - \frac{u\Delta t}{\Delta x}\left(1 - \cos\theta\Delta x\right) - \frac{2D\Delta t}{(\Delta x)^2}\left(1 - \cos\theta\Delta x\right) - ik\Delta t\sin\theta\Delta x $$ 3. **穩(wěn)定性條件** 要求$|G| \leq 1$對所有$\theta$成立。通過分析虛部和實(shí)部，最終得到顯式格式的穩(wěn)定性條件為： $$ \Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2D + u\Delta x} $$ 同時需滿足CFL條件： $$ \Delta t \leq \frac{\Delta x}{u} $$ 綜合兩者，更嚴(yán)格的穩(wěn)定性條件為： $$ \Delta t \leq \min\left(\frac{\Delta x^2}{2D + u\Delta x}, \frac{\Delta x}{u}\right) $$ --- ### 最終答案 **顯式離散方程**： $$ C_i^{n+1} = \left(1 + k\Delta t - \frac{u\Delta t}{\Delta x} - \frac{2D\Delta t}{(\Delta x)^2}\right)C_i^n + \frac{u\Delta t}{\Delta x}C_{i-1}^n + \frac{D\Delta t}{(\Delta x)^2}C_{i+1}^n - k\Delta t C_s $$ **穩(wěn)定性條件**： $$ \Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2D + u\Delta x} $$ 同時需滿足CFL條件$\Delta t \leq \Delta x/u$，實(shí)際應(yīng)用中取更嚴(yán)格的約束。
為了使用有限差分法求解一維對流擴(kuò)散方程，我們首先需要將方程離散化。方程為： \[ \frac{\partial C}{\partial t} = -u\frac{\partial C}{\partial x} + D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - k(C_s - C) \] ### 1. 離散化方程 #### 空間離散化 將 spatial domain \([0, L]\) 分成 \(N\) 個網(wǎng)格，每個網(wǎng)格的步長為 \(\Delta x = \frac{L}{N}\)。設(shè) \(x_i = i\Delta x\)，其中 \(i = 0, 1, 2, \ldots, N\)。 #### 時間離散化 將 time domain \([0, T]\) 分成 \(M\) 個時間步，每個時間步的步長為 \(\Delta t = \frac{T}{M}\)。設(shè) \(t^n = n\Delta t\)，其中 \(n = 0, 1, 2, \ldots, M\)。 #### 有限差分近似 使用 forward difference 近似時間導(dǎo)數(shù)，central difference 近似空間一階導(dǎo)數(shù)，central difference 近似空間二階導(dǎo)數(shù)： \[ \frac{\partial C}{\partial t} \approx \frac{C_i^{n+1} - C_i^n}{\Delta t} \] \[ \frac{\partial C}{\partial x} \approx \frac{C_{i+1}^n - C_{i-1}^n}{2\Delta x} \] \[ \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \approx \frac{C_{i+1}^n - 2C_i^n + C_{i-1}^n}{\Delta x^2} \] 將這些近似代入原方程，得到： \[ \frac{C_i^{n+1} - C_i^n}{\Delta t} = -u \frac{C_{i+1}^n - C_{i-1}^n}{2\Delta x} + D \frac{C_{i+1}^n - 2C_i^n + C_{i-1}^n}{\Delta x^2} - k(C_s - C_i^n) \] ### 2. 顯式格式的離散方程 將 \(C_i^{n+1}\) 項(xiàng)移到等式左邊，其他項(xiàng)移到等式右邊： \[ C_i^{n+1} = C_i^n - u \frac{\Delta t}{2\Delta x} (C_{i+1}^n - C_{i-1}^n) + D \frac{\Delta t}{\Delta x^2} (C_{i+1}^n - 2C_i^n + C_{i-1}^n) - k\Delta t (C_s - C_i^n) \] 定義 Courant number \(C_r = u \frac{\Delta t}{\Delta x}\) 和 diffusion number \(D_r = D \frac{\Delta t}{\Delta x^2}\)： \[ C_i^{n+1} = C_i^n - \frac{C_r}{2} (C_{i+1}^n - C_{i-1}^n) + D_r (C_{i+1}^n - 2C_i^n + C_{i-1}^n) - k\Delta t (C_s - C_i^n) \] ### 3. 穩(wěn)定性條件 對于顯式格式的有限差分方法， stability condition 由 Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition 和 diffusion stability condition 決定： \[ C_r \leq 1 \quad \text{(CFL condition)} \] \[ D_r \leq \frac{1}{2} \quad \text{(diffusion stability condition)} \] 將 \(C_r\) 和 \(D_r\) 的定義代入： \[ u \frac{\Delta t}{\Delta x} \leq 1 \] \[ D \frac{\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2} \] 解這兩個不等式，得到 \(\Delta t\) 的最大值： \[ \Delta t \leq \frac{\Delta x}{u} \] \[ \Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2D} \] 因此， stability condition 為： \[ \Delta t \leq \min\left(\frac{\Delta x}{u}, \frac{\Delta x^2}{2D}\right) \] ### 最終答案 \[ \boxed{\Delta t \leq \min\left(\frac{\Delta x}{u}, \frac{\Delta x^2}{2D}\right)} \]
在使用有限差分法對一維對流擴(kuò)散方程進(jìn)行離散化求解時，我們可以將空間和時間進(jìn)行離散化。假設(shè)網(wǎng)格尺寸為$\Delta x$和時間步長為$\Delta t$，我們用下標(biāo)$i$和$n$分別表示空間和時間步的位置，即$C_i^n$表示位置$i$和時間$n$時刻的溶解氧濃度。 對方程 $$\frac{\partial C}{\partial t} = -u\frac{\partial C}{\partial x} + D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - k(C_s - C)$$ 進(jìn)行離散化，首先在時間上使用顯式方法，空間上使用中心差分，方程可以表示為： 1. **對流項(xiàng)的離散**（使用一階迎風(fēng)差分法）： \[ -u\frac{\partial C}{\partial x} \approx -u \frac{C_{i}^n - C_{i-1}^n}{\Delta x} \] 2. **擴(kuò)散項(xiàng)的離散**（使用二階中心差分）： \[ D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \approx D \frac{C_{i+1}^n - 2C_{i}^n + C_{i-1}^n}{\Delta x^2} \] 3. **反應(yīng)項(xiàng)的離散**： \[ -k(C_s - C) \approx -k(C_s - C_i^n) \] 將上述離散項(xiàng)代入時間導(dǎo)數(shù)的離散格式： \[ \frac{\partial C}{\partial t} \approx \frac{C_i^{n+1} - C_i^n}{\Delta t} \] 綜合以上離散化，我們有： \[ \frac{C_i^{n+1} - C_i^n}{\Delta t} = -u \frac{C_{i}^n - C_{i-1}^n}{\Delta x} + D \frac{C_{i+1}^n - 2C_{i}^n + C_{i-1}^n}{\Delta x^2} - k(C_s - C_i^n) \] 整理得顯式格式的有限差分方程： \[ C_i^{n+1} = C_i^n + \frac{\Delta t}{\Delta x}\left(-u(C_i^n - C_{i-1}^n)\right) + \frac{D\Delta t}{\Delta x^2}\left(C_{i+1}^n - 2C_{i}^n + C_{i-1}^n\right) - k\Delta t(C_s - C_i^n) \] **穩(wěn)定性條件推導(dǎo)：** 顯式格式的穩(wěn)定性可以通過分析Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 條件來獲得。 1. **對流部分**的CFL穩(wěn)定性條件： \[ \frac{u \Delta t}{\Delta x} \leq 1 \] 2. **擴(kuò)散部分**的穩(wěn)定性條件（von Neumann 條件）： \[ \frac{D \Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2} \] 綜合兩者的約束，取最嚴(yán)格的條件： \[ \Delta t \leq \min\left(\frac{\Delta x}{u}, \frac{\Delta x^2}{2D}\right) \] 因此，為保證數(shù)值穩(wěn)定性，計(jì)算時應(yīng)確保時間步長$\Delta t$滿足上述條件。
| 模型名稱 | 模型提供商 | 響應(yīng)總時長（s） | 生成 token 數(shù) | 首 token 延遲（s） | 生成速率（tokens/s） |
|---|---|---|---|---|---|
|
356.65
|
1397
內(nèi)容最多
|
1.19
|
3.92
|
||
|
30.02
響應(yīng)最快
|
1084
|
0.49
延遲最小
|
36.11
速度最快
|
||
|
87.38
|
827
|
13.12
|
9.46
|
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