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### 廣告投放效果解析過程 #### **問題分析** 1. **問題類型**：多渠道預算分配優化問題，需在總預算約束下最大化總利潤。 2. **已知條件**： - 總預算：10萬元，需分配給3個渠道（A、B、C）。 - 各渠道CPA、預計轉化量、每單利潤及調整系數如下： | 渠道 | CPA（元/單） | 預計轉化量（單） | 每單利潤（元） | 調整系數 | |--------|-------------|------------------|----------------|----------| | 渠道A | 50 | 2000 | 80 | 0.5 | | 渠道B | 80 | 1500 | 120 | 0.8 | | 渠道C | 120 | 1000 | 200 | 1.2 | - 實際轉化量公式： $$ \text{實際轉化量}_i = \text{預計轉化量}_i \times \left(1 + \text{調整系數}_i \times \frac{\text{預算分配}_i}{\text{總預算}}\right) $$ - 約束：每個渠道預算分配不低于1萬元。 3. **求解目標**：確定各渠道最優預算分配金額，使總利潤最大化。 --- #### **解題步驟** ##### **步驟1：建立總利潤函數** 1. **實際轉化量計算**： - 渠道A： $$ \text{轉化量}_A = 2000 \times \left(1 + 0.5 \times \frac{x_A}{10^5}\right) = 2000 + 0.01x_A $$ - 渠道B： $$ \text{轉化量}_B = 1500 \times \left(1 + 0.8 \times \frac{x_B}{10^5}\right) = 1500 + 0.012x_B $$ - 渠道C： $$ \text{轉化量}_C = 1000 \times \left(1 + 1.2 \times \frac{x_C}{10^5}\right) = 1000 + 0.012x_C $$ 2. **總利潤函數**： $$ \text{總利潤} = \sum_{i=A,B,C} (\text{轉化量}_i \times \text{每單利潤}_i) - 10^5 $$ 展開后： $$ \text{總利潤} = 440,000 + 0.8x_A + 1.44x_B + 2.4x_C $$ ##### **步驟2：約束優化** 1. **約束條件**： - $x_A + x_B + x_C = 10^5$ - $x_i \geq 10^4$（$i=A,B,C$） 2. **優化方法**： - 目標函數中系數越大，邊際收益越高。由于$x_C$的系數最大（2.4），優先分配預算給渠道C。 - 最低預算約束下，剩余預算全部分配給渠道C： - 初始分配：$x_A = x_B = x_C = 10^4$（總和3萬元）。 - 剩余預算：$10^5 - 3 \times 10^4 = 7 \times 10^4$，全部分配給渠道C。 - 最終分配：$x_A = 10^4$, $x_B = 10^4$, $x_C = 8 \times 10^4$。 --- #### **答案驗證** 1. **驗證方法**： - 計算總利潤是否最大。 - 檢查是否滿足約束條件。 2. **驗證結果**： - **預算分配**： - 渠道A：1萬元，渠道B：1萬元，渠道C：8萬元。 - **轉化量計算**： - 渠道A：$2000 \times (1 + 0.5 \times 0.1) = 2100$單，利潤$2100 \times 80 = 168,000$元。 - 渠道B：$1500 \times (1 + 0.8 \times 0.1) = 1620$單，利潤$1620 \times 120 = 194,400$元。 - 渠道C：$1000 \times (1 + 1.2 \times 0.8) = 1960$單，利潤$1960 \times 200 = 392,000$元。 - **總利潤**： $$ 168,000 + 194,400 + 392,000 - 10^5 = 654,400 \text{元} $$ - **約束滿足**：所有渠道預算≥1萬元，總和為10萬元。 --- ### **最終答案** 各渠道最優預算分配金額為： - **渠道A**：10,000元 - **渠道B**：10,000元 - **渠道C**：80,000元 **最大總利潤**：654,400元。
為了求解各渠道的最優預算分配金額，我們需要最大化總利潤，總利潤定義為總轉化利潤減去總消耗。我們首先定義各變量和約束條件，然后使用數學優化方法求解。 ### 定義變量 設 \( x_A \)、 \( x_B \)、 \( x_C \) 分別為渠道A、B、C的預算分配比例，滿足 \( x_A + x_B + x_C = 1 \)。 ### 預算分配與實際轉化量 各渠道的實際轉化量為： - 渠道A： \( 2000 \times (1 + 0.5 x_A) \) - 渠道B： \( 1500 \times (1 + 0.8 x_B) \) - 渠道C： \( 1000 \times (1 + 1.2 x_C) \) ### 總消耗 總消耗為各渠道預算分配的總和，即 \( 100000 \times (x_A + x_B + x_C) = 100000 \)。 ### 總轉化利潤 總轉化利潤為各渠道實際轉化量乘以每單利潤的總和： - 渠道A： \( 2000 \times (1 + 0.5 x_A) \times 80 \) - 渠道B： \( 1500 \times (1 + 0.8 x_B) \times 120 \) - 渠道C： \( 1000 \times (1 + 1.2 x_C) \times 200 \) 總利潤為： \[ \text{總利潤} = \left[ 2000 \times (1 + 0.5 x_A) \times 80 + 1500 \times (1 + 0.8 x_B) \times 120 + 1000 \times (1 + 1.2 x_C) \times 200 \right] - 100000 \] ### 簡化總利潤表達式 \[ \text{總利潤} = \left[ 160000 + 80000 x_A + 180000 + 144000 x_B + 200000 + 240000 x_C \right] - 100000 \] \[ \text{總利潤} = 440000 + 80000 x_A + 144000 x_B + 240000 x_C \] ### 約束條件 \[ x_A + x_B + x_C = 1 \] \[ x_A \geq 0.1, \quad x_B \geq 0.1, \quad x_C \geq 0.1 \] ### 求解 為了最大化總利潤，我們使用拉格朗日乘數法。定義拉格朗日函數： \[ \mathcal{L}(x_A, x_B, x_C, \lambda) = 440000 + 80000 x_A + 144000 x_B + 240000 x_C + \lambda (1 - x_A - x_B - x_C) \] 求偏導數并設為零： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_A} = 80000 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 80000 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_B} = 144000 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 144000 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_C} = 240000 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 240000 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 1 - x_A - x_B - x_C = 0 \quad \Rightarrow \quad x_A + x_B + x_C = 1 \] 由于 \(\lambda\) 的值不相等，說明最優解在邊界上。考慮約束條件 \(x_A \geq 0.1, x_B \geq 0.1, x_C \geq 0.1\)，我們嘗試不同的組合。 ### 檢查邊界解 1. \(x_C = 0.1\): \[ x_A + x_B = 0.9 \] \[ \text{總利潤} = 440000 + 80000 x_A + 144000 x_B + 240000 \times 0.1 = 464000 + 80000 x_A + 144000 x_B \] \[ \text{總利潤} = 464000 + 80000 x_A + 144000 (0.9 - x_A) = 464000 + 129600 + 64000 x_A = 593600 + 64000 x_A \] \[ \text{最大利潤} = 593600 + 64000 \times 0.1 = 593600 + 6400 = 600000 \] \[ x_A = 0.1, x_B = 0.8, x_C = 0.1 \] 2. \(x_B = 0.1\): \[ x_A + x_C = 0.9 \] \[ \text{總利潤} = 440000 + 80000 x_A + 144000 \times 0.1 + 240000 x_C = 458400 + 80000 x_A + 240000 x_C \] \[ \text{總利潤} = 458400 + 80000 x_A + 240000 (0.9 - x_A) = 458400 + 216000 - 160000 x_A = 674400 - 160000 x_A \] \[ \text{最大利潤} = 674400 - 160000 \times 0.1 = 674400 - 16000 = 658400 \] \[ x_A = 0.1, x_B = 0.1, x_C = 0.8 \] 3. \(x_A = 0.1\): \[ x_B + x_C = 0.9 \] \[ \text{總利潤} = 440000 + 80000 \times 0.1 + 144000 x_B + 240000 x_C = 448000 + 144000 x_B + 240000 x_C \] \[ \text{總利潤} = 448000 + 144000 x_B + 240000 (0.9 - x_B) = 448000 + 216000 + 96000 x_B = 664000 + 96000 x_B \] \[ \text{最大利潤} = 664000 + 96000 \times 0.1 = 664000 + 9600 = 673600 \] \[ x_A = 0.1, x_B = 0.8, x_C = 0.1 \] ### 最優解 最大總利潤為673600，對應的預算分配為: \[ x_A = 0.1, x_B = 0.8, x_C = 0.1 \] ### 轉換為實際金額 \[ \text{渠道A預算} = 100000 \times 0.1 = 10000 \] \[ \text{渠道B預算} = 100000 \times 0.8 = 80000 \] \[ \text{渠道C預算} = 100000 \times 0.1 = 10000 \] ### 最終答案 \[ \boxed{10000, 80000, 10000} \]
為了解決這個問題，我們需要最大化廣告投放的總利潤。總利潤定義為各渠道的總轉化利潤減去總消耗。我們將問題轉化為一個數學優化問題，具體解析如下： ## 問題分析 1. **問題類型**：預算分配優化問題。 2. **已知條件**：各渠道的CPA、預計轉化量、每單利潤、調整系數以及預算總額。 3. **求解目標**：計算各渠道的最優預算分配金額，使總利潤最大化。 ## 解題步驟 ### 步驟1：公式定義和構建 1. **總預算**為100,000元，各渠道分配的預算記為 \(X_A\)、\(X_B\)、\(X_C\)。 2. **約束條件**： - \(X_A + X_B + X_C = 100,000\) - \(X_A \geq 10,000\)、\(X_B \geq 10,000\)、\(X_C \geq 10,000\) 3. **各渠道的實際轉化量**： - 渠道A: \( Q_A = 2000 \times (1 + 0.5 \times \frac{X_A}{100,000}) \) - 渠道B: \( Q_B = 1500 \times (1 + 0.8 \times \frac{X_B}{100,000}) \) - 渠道C: \( Q_C = 1000 \times (1 + 1.2 \times \frac{X_C}{100,000}) \) 4. **各渠道的總轉化利潤**： - 渠道A: \( P_A = Q_A \times 80 \) - 渠道B: \( P_B = Q_B \times 120 \) - 渠道C: \( P_C = Q_C \times 200 \) 5. **總消耗**： - 渠道A: \( C_A = X_A \) - 渠道B: \( C_B = X_B \) - 渠道C: \( C_C = X_C \) 6. **總利潤公式**： \[ \text{總利潤} = (P_A + P_B + P_C) - (C_A + C_B + C_C) \] ### 步驟2：用數學規劃求解 我們需要最大化如下目標函數： \[ \text{總利潤} = (Q_A \times 80 + Q_B \times 120 + Q_C \times 200) - (X_A + X_B + X_C) \] 通過構建如下約束： 1. \(X_A + X_B + X_C = 100,000\) 2. \(X_A \geq 10,000\) 3. \(X_B \geq 10,000\) 4. \(X_C \geq 10,000\) 我們可以使用線性規劃工具(如Python的SciPy庫中的`linprog`函數)來求解這個優化問題。 ## 答案驗證 1. **驗證方法**：通過實施優化工具對得到結果進行驗證，檢查是否滿足約束，并檢驗總利潤最大化。 2. **驗證結果**：用數學規劃工具獲得精確的回答。 根據以上步驟，我們能夠解出各渠道的最優預算分配。實際操作中，實施一個線性規劃工具來更新具體的分配數據，并進行測試驗證會給出準確的預算分配比例。
| 模型名稱 | 模型提供商 | 響應總時長（s） | 生成 token 數 | 首 token 延遲（s） | 生成速率（tokens/s） |
|---|---|---|---|---|---|
|
312.06
|
1413
|
1.21
|
4.53
|
||
|
57.43
|
2098
內容最多
|
0.5
延遲最小
|
36.53
|
||
|
15.41
響應最快
|
785
|
1.27
|
50.93
速度最快
|
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