好的，我現在要解決這個廣告投放預算分配的問題，讓總利潤最大化。首先，我得理清楚題目給出的條件和目標?？傤A算是10萬元，三個渠道A、B、C，每個渠道的CPA、預計轉化量和每單利潤都不同。同時，實際轉化量會根據預算分配比例和調整系數來變化。每個渠道的預算不能低于10%，也就是至少1萬元。目標是找到各渠道的最優預算分配，使得總利潤最大。
首先，我需要明確總利潤的計算方式?？偫麧櫟扔诳傓D化利潤減去總消耗。總轉化利潤是各渠道的轉化量乘以每單利潤的總和，總消耗則是各渠道的預算分配乘以各自的CPA的總和。不過，這里的轉化量不是固定的預計轉化量，而是會根據預算分配比例調整。調整系數分別是A:0.5，B:0.8，C:1.2。也就是說，實際轉化量=預計轉化量 × (1 + 調整系數 × 預算分配比例)。這里的預算分配比例是指該渠道的預算占總預算的比例嗎？比如，如果總預算是10萬，渠道A分配了x萬元，那么它的預算比例就是x/10萬。調整系數乘以這個比例，然后加到原來的預計轉化量上？
舉個例子，假設渠道A分配了x萬元，那么它的調整部分就是0.5*(x/10)，所以實際轉化量是2000*(1 + 0.5*(x/10))？或者說調整系數是乘以預算分配的絕對金額？這點可能需要仔細看題目。題目里寫的是“預算分配比例”，所以應該是按比例來計算。比如，預算分配比例是該渠道預算占總預算的比例，所以每個渠道的實際轉化量=預計轉化量 × [1 + 調整系數 × (預算分配比例)]。例如，渠道A的調整系數是0.5，如果分配了x元，那么比例是x/100000，所以轉化量是2000*(1 + 0.5*(x/100000))？
接下來，每個渠道的消耗是分配的預算乘以CPA嗎？因為CPA是每單的成本，所以消耗應該是預算分配的金額。比如，渠道A分配了x元，那么消耗就是x元，因為CPA是50元/單，所以轉化量是x / 50？但是題目里給的預計轉化量可能是在初始情況下的值。這里可能存在矛盾，需要再仔細理解題目。
原題中的表格給出了各渠道的CPA、預計轉化量，以及每單利潤。問題中說“實際轉化量=預計轉化量×（1+調整系數×預算分配比例）”。這里的預算分配比例應該是指該渠道的預算占總預算的比例。例如，總預算是10萬，渠道A分配了x元，那么比例是x/10萬。調整系數是0.5，所以實際轉化量是2000*(1 + 0.5*(x/10萬))。這時候，該渠道的消耗是x元，因為CPA是50元/單，原預計轉化量是2000單，對應的原消耗是2000*50=10萬元？但原題中說預計轉化量是已經扣除固定成本后的數據，可能這里的CPA是實際的每單成本，所以當分配x元給渠道A時，預計轉化量是x / 50？但是題目給出的預計轉化量是2000單，對應的原預算應該是2000*50=10萬元？這似乎有問題，因為總預算是10萬，三個渠道的預計轉化量總和是2000+1500+1000=4500單，總消耗應該是各渠道的預計轉化量乘以各自的CPA總和：2000*50 +1500*80 +1000*120 = 100000 + 120000 + 120000 = 340000元，這顯然超過了總預算10萬元。這說明我的理解有誤。
這時候我意識到可能題目中的預計轉化量是在某個基準預算下的轉化量。例如，原題中的預計轉化量可能是在各渠道分配一定預算后的結果。比如，渠道A的預計轉化量2000單是基于某個初始預算，但題目中的總預算是10萬元，各渠道的初始分配可能不同?；蛘撸赡茴}目中的預計轉化量是在不考慮調整系數時的轉化量，而當預算分配變化時，實際轉化量會根據調整系數進行調整。
現在需要重新理清問題中的變量關系。題目中的實際轉化量的計算公式是：實際轉化量=預計轉化量 × (1 + 調整系數 × 預算分配比例)。其中，預算分配比例是該渠道的預算占總預算的比例。例如，渠道A分配了x元，那么比例是x/100000，調整系數是0.5，所以實際轉化量為2000*(1 + 0.5*(x/100000))。此時，該渠道的消耗是x元，因為CPA是每單的成本，所以原本的預計轉化量對應的預算是2000*50=10萬元？這顯然與總預算相沖突，因為如果三個渠道都按預計轉化量的預算分配的話，總預算會超過10萬。這說明我的理解有問題。
可能題目中的預計轉化量是在當前預算分配下的轉化量，而實際轉化量會隨著預算分配的變化而變化。例如，假設總預算是10萬，各渠道的初始預算分配是x_A, x_B, x_C，滿足x_A + x_B + x_C = 10萬，且每個x_i >= 1萬。然后，實際轉化量是預計轉化量乘以（1 + 調整系數 × (x_i / 10萬)）。這里的調整系數是針對每個渠道的，比如渠道A的調整系數是0.5，所以當給渠道A分配更多預算時，轉化量會增加。此時，每個渠道的消耗是x_i元，而該渠道的利潤是實際轉化量 × 每單利潤。總利潤是三個渠道的利潤總和減去總消耗（即10萬？這似乎矛盾，因為總消耗就是總預算，所以總利潤=總轉化利潤 - 總預算？這似乎不太對，因為總消耗應該是各渠道的花費總和，即總預算，所以總利潤應該是各渠道的（實際轉化量 × 每單利潤）之和 減去 總預算（10萬）。但是原題中的表格顯示每單利潤已經扣除了固定成本，所以這里的總利潤是否還需要減去總消耗？
根據題目中的定義：“總利潤=總轉化利潤-總消耗”。總轉化利潤是各渠道的實際轉化量 × 每單利潤之和，總消耗是各渠道的預算分配之和，也就是總預算10萬元。因此，總利潤=Σ（實際轉化量_i × 利潤_i） - 100000。
現在目標是找到x_A, x_B, x_C，滿足x_A + x_B + x_C = 100000，且x_i >=10000，使得總利潤最大。
接下來，我需要建立數學模型。首先，每個渠道的實際轉化量是：
轉化量_A = 2000 × [1 + 0.5 × (x_A / 100000)]
轉化量_B = 1500 × [1 + 0.8 × (x_B / 100000)]
轉化量_C = 1000 × [1 + 1.2 × (x_C / 100000)]
然后，總利潤為：
總利潤 = (轉化量_A × 80) + (轉化量_B × 120) + (轉化量_C × 200) - 100000
需要最大化這個總利潤，同時滿足x_A + x_B + x_C = 100000，且x_i >=10000。
接下來，我可以將這個問題轉化為數學優化問題。由于變量是連續的（預算分配可以精確到元，但實際可能需要整數），但這里題目要求精確到元，所以可能需要離散處理，不過通常這類問題可以先用連續變量求解，再調整到最近的整數。
不過，為了簡化，先假設變量是連續的，建立函數，然后求導找極值。但由于存在約束條件，可能需要使用拉格朗日乘數法，或者考慮線性規劃或其他方法。不過，這里的轉化量與預算之間是線性關系嗎？
轉化量與預算的關系是線性的，因為轉化量_i = 預計轉化量 × [1 + 調整系數 × (x_i / 預算總額)]。例如，渠道A的轉化量是2000*(1 + 0.5*(x_A/1e5)) = 2000 + 0.5*2000*(x_A/1e5) = 2000 + 2*(x_A)/1e5*1e5？ 不，這里可能更簡單的方式是將其轉化為線性函數。例如，渠道A的轉化量可以表示為2000 + 0.5*(x_A / 1e5)*2000 = 2000*(1 + 0.5*(x_A/1e5))。所以，轉化量與x_A的關系是線性的，即轉化量 = a + b*x_A，其中a是固定部分，b是系數。類似地，其他渠道也是如此。
因此，總利潤函數可以展開為：
總利潤 = 80*[2000*(1 + 0.5*(x_A/1e5))] + 120*[1500*(1 + 0.8*(x_B/1e5))] + 200*[1000*(1 + 1.2*(x_C/1e5))] - 1e5
簡化一下：
= 80*2000*(1 + 0.5*(x_A/1e5)) + 120*1500*(1 + 0.8*(x_B/1e5)) + 200*1000*(1 + 1.2*(x_C/1e5)) - 1e5
計算各項：
80*2000 = 160000 → 160000*(1 + 0.5*(x_A/1e5)) = 160000 + 160000*0.5*(x_A/1e5) = 160000 + 80*(x_A/1e5)*1e5 → 這里可能計算有誤，需要重新展開。
更準確地說：
對于渠道A：
80 * 2000 * (1 + 0.5*(x_A/1e5)) = 80*2000*1 + 80*2000*0.5*(x_A/1e5) = 160000 + 8000*(x_A/1e5)
同樣，渠道B：
120*1500*(1 + 0.8*(x_B/1e5)) = 180000 + 120*1500*0.8*(x_B/1e5) = 180000 + 14400*(x_B/1e5)
渠道C：
200*1000*(1 + 1.2*(x_C/1e5)) = 200000 + 200*1000*1.2*(x_C/1e5) = 200000 + 2400*(x_C/1e5)
將這些相加，再減去1e5：
總利潤 = [160000 + 8000*(x_A/1e5) + 180000 + 14400*(x_B/1e5) + 200000 + 2400*(x_C/1e5)] - 1e5
合并常數項：
160000+180000+200000 = 540000
然后減去1e5（100000），得到540000 - 100000 = 440000
然后變量部分：
8000*(x_A/1e5) + 14400*(x_B/1e5) + 2400*(x_C/1e5)
可以簡化為：
(8000/1e5)x_A + (14400/1e5)x_B + (2400/1e5)x_C
即：
0.08x_A + 0.144x_B + 0.024x_C
所以總利潤函數為：
總利潤 = 440000 + 0.08x_A + 0.144x_B + 0.024x_C
現在，我們需要在約束條件下最大化這個函數：
x_A + x_B + x_C = 1e5
x_A >= 1e4
x_B >= 1e4
x_C >= 1e4
這是一個線性規劃問題，目標函數是線性的，約束條件也是線性的。要最大化總利潤，即最大化0.08x_A + 0.144x_B + 0.024x_C，在總預算約束下，且各變量不低于1e4。
在線性規劃中，最優解通常出現在可行域的頂點。由于這里只有三個變量和一個等式約束，可以轉化為兩個變量來分析。例如，用x_C = 1e5 - x_A - x_B，代入目標函數：
總利潤 = 440000 + 0.08x_A + 0.144x_B + 0.024*(1e5 - x_A - x_B)
= 440000 + 0.08x_A + 0.144x_B + 2400 - 0.024x_A -0.024x_B
= 442400 + (0.08-0.024)x_A + (0.144-0.024)x_B
= 442400 + 0.056x_A + 0.12x_B
現在，目標函數變為最大化0.056x_A + 0.12x_B，約束條件是：
x_A >=1e4
x_B >=1e4
x_C =1e5 -x_A -x_B >=1e4 → x_A +x_B <= 9e4
同時，x_A >=1e4，x_B >=1e4，x_A +x_B <=9e4
現在，要最大化0.056x_A +0.12x_B，在x_A和x_B滿足上述條件的情況下。
觀察目標函數的系數，x_B的系數更大（0.12），因此，在可行的情況下，盡可能多地分配預算給x_B會更有利。但是需要滿足x_A >=1e4，x_B >=1e4，且x_A +x_B <=9e4。
所以，可能的極值點是在x_A和x_B盡可能大的情況下。比如，當x_A取最小值1e4時，x_B可以取到最大值9e4 -x_A =9e4 -1e4=8e4。此時x_C=1e5 -1e4 -8e4=1e4，滿足約束。
或者，當x_B取最大可能值時，x_A和x_C取最小值。例如，x_A=1e4，x_B=8e4，x_C=1e4。這時，目標函數值為0.056*1e4 +0.12*8e4= 560 + 9600=10160?？偫麧?442400 +10160=452560元。
或者，是否存在其他情況？比如，當x_C取到最小值1e4時，x_A +x_B=9e4。此時，目標函數是0.056x_A +0.12x_B。要最大化這個表達式，在x_A +x_B=9e4的情況下，可以用x_B=9e4 -x_A，代入得：
0.056x_A +0.12*(9e4 -x_A) =0.056x_A + 10800 -0.12x_A=10800 -0.064x_A
為了最大化這個值，需要最小化x_A，因為系數是負的。所以x_A取最小值1e4，此時x_B=8e4，得到同樣的結果。
因此，最大化的點是在x_A=1e4，x_B=8e4，x_C=1e4時，此時總利潤為452560元。
但是，我需要檢查是否還有其他可能的極值點。例如，如果x_C的約束被激活，即x_C=1e4，那么x_A +x_B=9e4。在這種情況下，如前所述，最優解是x_A=1e4，x_B=8e4。
或者，是否存在其他情況？比如，當x_B的系數更大，是否有可能在x_A和x_B之間分配更多預算給x_B？
比如，如果x_A和x_B都不受限制，除了總和不超過9e4，那么最優解是將所有預算分配給x_B，但必須滿足x_A >=1e4。所以當x_A=1e4時，x_B=8e4，這是最大的可能值。
因此，這個解應該是正確的。
現在，驗證這個解是否滿足所有約束條件：
x_A=10000元（>=1e4）
x_B=80000元（>=1e4）
x_C=10000元（>=1e4）
總和=1e4 +8e4 +1e4=1e5元，滿足總預算。
因此，各渠道的最優預算分配是A:1萬，B:8萬，C:1萬。此時總利潤最大。
不過，我需要再次檢查目標函數是否正確。因為在最初的轉換中，總利潤=440000 +0.08x_A +0.144x_B +0.024x_C。當替換x_C=1e5 -x_A -x_B后，得到總利潤=442400 +0.056x_A +0.12x_B。這說明x_B的系數更大，所以應該盡可能多分配預算給B，同時滿足其他約束。
因此，這個解是正確的。各渠道的預算分配為A:1萬，B:8萬，C:1萬，總利潤為452,560元。
不過，我需要再次確認轉化量的計算是否正確。例如，渠道B分配了8萬元，調整系數是0.8，所以實際轉化量=1500*(1 +0.8*(8e4/1e5))=1500*(1+0.8*0.8)=1500*(1+0.64)=1500*1.64=2460單。利潤是2460*120=295,200元。消耗是8萬元，所以利潤貢獻是295200 -80000=215,200元？或者總利潤是總轉化利潤減去總消耗？
根據題目中的定義，總利潤=總轉化利潤 - 總消耗?？傓D化利潤是各渠道的轉化量乘以每單利潤之和，總消耗是總預算10萬元。
所以，對于渠道A：x_A=1e4元，轉化量=2000*(1+0.5*(1e4/1e5))=2000*(1+0.05)=2000*1.05=2100單。利潤=2100*80=168,000元。
渠道B：x_B=8e4元，轉化量=1500*(1+0.8*(8e4/1e5))=1500*(1+0.64)=2460單。利潤=2460*120=295,200元。
渠道C：x_C=1e4元，轉化量=1000*(1+1.2*(1e4/1e5))=1000*(1+0.12)=1120單。利潤=1120*200=224,000元。
總轉化利潤=168000+295200+224000=687,200元。
總消耗=1e5元。
總利潤=687200 -1e5=587,200元？這與之前通過線性模型得到的結果不符。這說明之前的轉換可能存在錯誤。
這里出現矛盾，說明之前的模型推導有誤。我需要重新審視問題。
原來，我在展開總利潤公式時可能犯了錯誤。讓我重新計算：
原總利潤公式應為：
總利潤 = Σ（實際轉化量_i × 利潤_i） - Σ（預算分配_i）
因為總消耗是各渠道預算之和，即10萬元。
所以，正確的總利潤計算應該是：
總利潤 = (轉化量_A ×80 + 轉化量_B ×120 +轉化量_C ×200) - (x_A +x_B +x_C)
而x_A +x_B +x_C=1e5，所以總利潤=轉化利潤總和 -1e5。
現在，正確的轉化利潤總和是各渠道的實際轉化量乘以各自的每單利潤。
而實際轉化量的計算是：
轉化量_A=2000*(1 +0.5*(x_A/1e5))
轉化量_B=1500*(1 +0.8*(x_B/1e5))
轉化量_C=1000*(1 +1.2*(x_C/1e5))
因此，總利潤=80*轉化量_A +120*轉化量_B +200*轉化量_C -1e5
現在，我需要重新建立這個函數，并找到其最大值。
這顯然是一個非線性函數，因為轉化量與預算分配之間是線性關系，但乘以不同的系數后，整體函數可能不是線性的。因此，之前的簡化可能存在錯誤，導致結果不正確。
現在，正確的做法應該是將總利潤表達式展開，并找到其最大值。
首先，將轉化量表達式代入：
轉化量_A=2000*(1 +0.5*(x_A/1e5))=2000 + 10*x_A/1e5=2000 +0.01x_A
同樣，
轉化量_B=1500*(1 +0.8*(x_B/1e5))=1500 + 12*x_B/1e5=1500 +0.012x_B
轉化量_C=1000*(1 +1.2*(x_C/1e5))=1000 +12*x_C/1e5=1000 +0.012x_C
因此，總利潤=80*(2000 +0.01x_A) +120*(1500 +0.012x_B) +200*(1000 +0.012x_C) -1e5
計算各項：
80*2000=160,000
80*0.01x_A=0.8x_A
120*1500=180,000
120*0.012x_B=1.44x_B
200*1000=200,000
200*0.012x_C=2.4x_C
將這些相加：
160000 +0.8x_A +180000 +1.44x_B +200000 +2.4x_C -1e5
合并常數項：
160000+180000+200000=540,000
540,000 -1e5=440,000
變量項：
0.8x_A +1.44x_B +2.4x_C
所以總利潤=440,000 +0.8x_A +1.44x_B +2.4x_C
現在，這顯然與之前的推導不同，說明之前存在錯誤。現在正確的總利潤函數是：
總利潤=440,000 +0.8x_A +1.44x_B +2.4x_C
而約束條件是x_A +x_B +x_C=1e5，且x_i >=1e4。
現在，要最大化這個函數。由于變量系數都是正數，因此，在預算允許的情況下，應該盡可能多地分配給系數最大的變量。這里的系數是x_A的0.8，x_B的1.44，x_C的2.4。因此，系數最大的變量是x_C，其次是x_B，最后是x_A。
因此，為了最大化總利潤，應該在滿足約束條件的情況下，盡可能多地分配預算給x_C，然后是x_B，最后是x_A。
但是，每個渠道的預算不能低于1e4元。所以，首先分配給每個渠道最低的1e4元，然后剩下的預算分配給系數最大的渠道。
初始分配：x_A=1e4，x_B=1e4，x_C=1e4，總和3e4，剩余7e4。
剩下的7e4元應該全部分配給x_C，因為它的系數最大（2.4）。這樣，x_C=1e4 +7e4=8e4元。此時，總和是1e4+1e4+8e4=1e5元。
這樣，總利潤=440,000 +0.8*1e4 +1.44*1e4 +2.4*8e4
計算各項：
0.8*1e4=8,000
1.44*1e4=14,400
2.4*8e4=192,000
總和=440,000 +8,000+14,400+192,000=440,000+214,400=654,400元
此時，各渠道的預算是A:1萬，B:1萬，C:8萬。但需要檢查是否符合約束條件。是的，每個渠道都至少有1萬，總和是10萬。
但是，這樣是否正確？因為當x_C增加時，其轉化量的增長是否會有邊際收益遞減？在這里，模型中假設轉化量與預算分配是線性關系，所以邊際效益是恒定的。因此，在最大化線性函數的情況下，應該將所有剩余預算分配給系數最大的變量。
但是，這里的目標函數是總利潤=440,000 +0.8x_A +1.44x_B +2.4x_C，所以每增加1元到x_C，總利潤增加2.4元，而x_B是1.44元，x_A是0.8元。因此，最優解是將所有預算盡可能分配給x_C，其次是x_B，最后是x_A。在滿足最低約束的情況下。
因此，在初始分配每個渠道1萬后，剩下的7萬全部給x_C，得到x_C=8萬，總利潤為654,400元。
但是，是否還有更好的分配方式？例如，如果x_C的預算超過8萬，但其他渠道的最低預算不能低于1萬。例如，假設x_A=1萬，x_B=1萬，x_C=8萬，總利潤是654,400元。如果調整x_B和x_C的分配，是否可能獲得更高的利潤？
比如，假設x_C=8萬，x_B=1萬，x_A=1萬，總利潤是654,400元。如果將x_B增加1元，x_C減少1元，那么總利潤變化為：1.44*1 -2.4*1= -0.96元，利潤減少。因此，這樣的調整不可行。同樣，調整x_A和x_C也是如此。因此，最優解確實是x_A=1萬，x_B=1萬，x_C=8萬。
但是，這與之前的錯誤分析結果不同，因此必須重新審視問題。
現在，回到正確的總利潤函數：總利潤=440,000 +0.8x_A +1.44x_B +2.4x_C，在約束條件下，要最大化這個函數，應該將盡可能多的預算分配給系數最高的變量，即x_C。因此，最優解是x_A=1e4，x_B=1e4，x_C=8e4，總利潤654,400元。
但需要再次驗證轉化量的計算是否正確：
渠道A：x_A=1e4元，轉化量=2000*(1 +0.5*(1e4/1e5))=2000*(1+0.05)=2100單。利潤=2100*80=168,000元。
渠道B：x_B=1e4元，轉化量=1500*(1 +0.8*(1e4/1e5))=1500*(1+0.08)=1620單。利潤=1620*120=194,400元。
渠道C：x_C=8e4元，轉化量=1000*(1 +1.2*(8e4/1e5))=1000*(1+0.96)=1960單。利潤=1960*200=392,000元。
總轉化利潤=168,000 +194,400 +392,000=754,400元。
總消耗=1e5元。
總利潤=754,400 -1e5=654,400元，與之前的計算一致。
那為什么之前用另一種方式得到不同的結果？因為最初的模型推導存在錯誤，現在修正后的模型是正確的。
因此，正確的最優解是各渠道預算分配為A:1萬，B:1萬，C:8萬，總利潤654,400元。
但這里有一個問題：當x_C分配了8萬，其調整系數是1.2，轉化量是1000*(1+1.2*(8e4/1e5))=1000*(1+0.96)=1960單。每單利潤200元，總利潤是1960*200=392,000元，對嗎？
是的。而渠道B分配1萬，轉化量是1500*(1+0.8*(0.1))=1500*1.08=1620單，利潤1620*120=194,400元。渠道A同理。
因此，這個解是正確的。
但之前的錯誤在于誤將目標函數簡化為線性模型時犯了計算錯誤，導致得出錯誤的結論。現在修正后的模型顯示，最優解是將盡可能多的預算分配給系數最高的渠道C，即x_C=8萬，而其他兩個渠道各分配1萬。
因此，最終答案應該是渠道A:1萬元，渠道B:1萬元，渠道C:8萬元。
不過，我需要再次檢查約束條件是否滿足。每個渠道的預算都大于等于1萬元，總和是10萬元，符合條件。因此，這個解是可行的，并且總利潤最大。
### 廣告投放效果解析過程
#### **問題分析**
1. **問題類型**：多渠道預算分配優化問題，需在總預算約束下最大化總利潤。
2. **已知條件**：
- 總預算：10萬元，需分配給3個渠道（A、B、C）。
- 各渠道CPA、預計轉化量、每單利潤及調整系數如下：
| 渠道 | CPA（元/單） | 預計轉化量（單） | 每單利潤（元） | 調整系數 |
|--------|-------------|------------------|----------------|----------|
| 渠道A | 50 | 2000 | 80 | 0.5 |
| 渠道B | 80 | 1500 | 120 | 0.8 |
| 渠道C | 120 | 1000 | 200 | 1.2 |
- 實際轉化量公式：
$$
\text{實際轉化量}_i = \text{預計轉化量}_i \times \left(1 + \text{調整系數}_i \times \frac{\text{預算分配}_i}{\text{總預算}}\right)
$$
- 約束：每個渠道預算分配不低于1萬元。
3. **求解目標**：確定各渠道最優預算分配金額，使總利潤最大化。
---
#### **解題步驟**
##### **步驟1：建立總利潤函數**
1. **實際轉化量計算**：
- 渠道A：
$$
\text{轉化量}_A = 2000 \times \left(1 + 0.5 \times \frac{x_A}{10^5}\right) = 2000 + 0.01x_A
$$
- 渠道B：
$$
\text{轉化量}_B = 1500 \times \left(1 + 0.8 \times \frac{x_B}{10^5}\right) = 1500 + 0.012x_B
$$
- 渠道C：
$$
\text{轉化量}_C = 1000 \times \left(1 + 1.2 \times \frac{x_C}{10^5}\right) = 1000 + 0.012x_C
$$
2. **總利潤函數**：
$$
\text{總利潤} = \sum_{i=A,B,C} (\text{轉化量}_i \times \text{每單利潤}_i) - 10^5
$$
展開后：
$$
\text{總利潤} = 440,000 + 0.8x_A + 1.44x_B + 2.4x_C
$$
##### **步驟2：約束優化**
1. **約束條件**：
- $x_A + x_B + x_C = 10^5$
- $x_i \geq 10^4$（$i=A,B,C$）
2. **優化方法**：
- 目標函數中系數越大，邊際收益越高。由于$x_C$的系數最大（2.4），優先分配預算給渠道C。
- 最低預算約束下，剩余預算全部分配給渠道C：
- 初始分配：$x_A = x_B = x_C = 10^4$（總和3萬元）。
- 剩余預算：$10^5 - 3 \times 10^4 = 7 \times 10^4$，全部分配給渠道C。
- 最終分配：$x_A = 10^4$, $x_B = 10^4$, $x_C = 8 \times 10^4$。
---
#### **答案驗證**
1. **驗證方法**：
- 計算總利潤是否最大。
- 檢查是否滿足約束條件。
2. **驗證結果**：
- **預算分配**：
- 渠道A：1萬元，渠道B：1萬元，渠道C：8萬元。
- **轉化量計算**：
- 渠道A：$2000 \times (1 + 0.5 \times 0.1) = 2100$單，利潤$2100 \times 80 = 168,000$元。
- 渠道B：$1500 \times (1 + 0.8 \times 0.1) = 1620$單，利潤$1620 \times 120 = 194,400$元。
- 渠道C：$1000 \times (1 + 1.2 \times 0.8) = 1960$單，利潤$1960 \times 200 = 392,000$元。
- **總利潤**：
$$
168,000 + 194,400 + 392,000 - 10^5 = 654,400 \text{元}
$$
- **約束滿足**：所有渠道預算≥1萬元，總和為10萬元。
---
### **最終答案**
各渠道最優預算分配金額為：
- **渠道A**：10,000元
- **渠道B**：10,000元
- **渠道C**：80,000元
**最大總利潤**：654,400元。
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