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梯度下降

一、梯度下降的本質(zhì)

機(jī)器學(xué)習(xí)“三板斧”：選擇模型家族，定義損失函數(shù)量化預(yù)測(cè)誤差，通過優(yōu)化算法找到最小化損失的最優(yōu)模型參數(shù)。

機(jī)器學(xué)習(xí) vs?人類學(xué)習(xí)

定義一個(gè)函數(shù)集合（模型選擇）
- 目標(biāo)：確定一個(gè)合適的假設(shè)空間或模型家族。
- 示例：線性回歸、邏輯回歸、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、決策樹等。
- 考慮因素：?jiǎn)栴}的復(fù)雜性、數(shù)據(jù)的性質(zhì)、計(jì)算資源等。
判斷函數(shù)的好壞（損失函數(shù)）
- 目標(biāo)：量化模型預(yù)測(cè)與真實(shí)結(jié)果之間的差異。
- 示例：均方誤差（MSE）用于回歸；交叉熵?fù)p失用于分類。
- 考慮因素：損失的性質(zhì)（凸性、可微性等）、易于優(yōu)化、對(duì)異常值的魯棒性等。
選擇最好的函數(shù)（優(yōu)化算法）
- 目標(biāo)：在函數(shù)集合中找到最小化損失函數(shù)的模型參數(shù)。
- 主要方法：梯度下降及其變種（隨機(jī)梯度下降、批量梯度下降、Adam等）。
- 考慮因素：收斂速度、計(jì)算效率、參數(shù)調(diào)整的復(fù)雜性等。

梯度下降的本質(zhì)：用于求解機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)中的最優(yōu)化問題。

梯度下降的基本思想是從一個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)，沿著損失函數(shù)的負(fù)梯度方向不斷更新參數(shù)，直到達(dá)到一個(gè)局部最小值或者全局最小值。

梯度下降的基本思想

初始化參數(shù)：選擇一個(gè)初始的參數(shù)值。
計(jì)算梯度：計(jì)算損失函數(shù)在當(dāng)前參數(shù)值下的梯度。
更新參數(shù)：沿著梯度的反方向更新參數(shù)，通常使用一個(gè)學(xué)習(xí)率（Learning Rate）來控制更新的步長(zhǎng)。
重復(fù)迭代：重復(fù)步驟2和3，直到滿足停止條件（如達(dá)到最大迭代次數(shù)、損失函數(shù)值小于一個(gè)閾值等）。

在梯度下降中，利用方向?qū)?shù)的最小值（即梯度的反方向）來更新參數(shù)，從而逼近函數(shù)的最小值。

方向?qū)?shù)：在梯度下降算法中，方向?qū)?shù)用于確定函數(shù)值下降的最快方向。

定義：方向?qū)?shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)沿特定方向的變化率。對(duì)于多元函數(shù)，它表示函數(shù)值在該點(diǎn)沿某一確定方向上的瞬時(shí)變化率。
性質(zhì)：方向?qū)?shù)的大小取決于函數(shù)在該點(diǎn)的梯度以及方向向量的選擇。當(dāng)方向向量與梯度方向相同時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值；當(dāng)方向向量與梯度方向相反時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值。
與梯度下降的關(guān)系：在梯度下降算法中，方向?qū)?shù)用于確定函數(shù)值下降的最快方向。通過計(jì)算負(fù)梯度方向上的方向?qū)?shù)，可以找到使函數(shù)值減小的方向，從而更新參數(shù)以逼近函數(shù)的最小值。

方向?qū)?shù)

梯度（Gradient）：在梯度下降算法中，梯度提供了函數(shù)下降的方向和速度信息。

定義：梯度是一個(gè)向量，它的每個(gè)分量是函數(shù)對(duì)相應(yīng)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于多元函數(shù)，梯度表示函數(shù)在某一點(diǎn)的最大變化率和該變化發(fā)生的方向。
性質(zhì)：梯度的方向總是指向函數(shù)值增長(zhǎng)最快的方向，而梯度的大小（模長(zhǎng)）表示該方向上的最大變化率。在函數(shù)的駐點(diǎn)（梯度為零的點(diǎn)）處，函數(shù)可能達(dá)到局部極小值、局部極大值或鞍點(diǎn)。
與梯度下降的關(guān)系：梯度下降算法利用梯度的信息來更新參數(shù)，以最小化目標(biāo)函數(shù)。在每一步迭代中，算法計(jì)算當(dāng)前點(diǎn)的梯度，并沿著梯度的反方向（負(fù)梯度方向）移動(dòng)一定的步長(zhǎng)，這個(gè)步長(zhǎng)通常由學(xué)習(xí)率控制。

梯度

批量梯度下降（BGD）：在每次迭代中，批量梯度下降使用整個(gè)數(shù)據(jù)集來計(jì)算損失函數(shù)的梯度，并根據(jù)這個(gè)梯度來更新模型的所有參數(shù)。

批量梯度下降（BGD）

優(yōu)點(diǎn)：穩(wěn)定收斂：由于使用了整個(gè)數(shù)據(jù)集來計(jì)算梯度，批量梯度下降通常能夠更穩(wěn)定地收斂到損失函數(shù)的最小值，避免了在優(yōu)化過程中的劇烈波動(dòng)。全局視角：它考慮了數(shù)據(jù)集中的所有樣本來進(jìn)行參數(shù)更新，這有助于模型獲得一個(gè)全局的視角，而不是僅僅關(guān)注于單個(gè)樣本或一小部分樣本。易于實(shí)現(xiàn)：批量梯度下降算法相對(duì)簡(jiǎn)單，容易理解和實(shí)現(xiàn)。
缺點(diǎn)：計(jì)算成本高：當(dāng)數(shù)據(jù)集非常大時(shí)，批量梯度下降的計(jì)算成本會(huì)變得非常高，因?yàn)槊看蔚夹枰幚碚麄€(gè)數(shù)據(jù)集。內(nèi)存消耗大：由于需要同時(shí)加載整個(gè)數(shù)據(jù)集到內(nèi)存中，批量梯度下降對(duì)于內(nèi)存的需求也相對(duì)較高。更新速度慢：由于每次更新都是基于整個(gè)數(shù)據(jù)集的平均梯度，因此在某些情況下，批量梯度下降可能會(huì)比隨機(jī)梯度下降更慢地更新參數(shù)。

隨機(jī)梯度下降（SGD）：與批量梯度下降不同，隨機(jī)梯度下降在每次迭代中僅隨機(jī)選擇一個(gè)樣本來計(jì)算損失函數(shù)的梯度，并根據(jù)這個(gè)梯度來更新模型的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)。

隨機(jī)梯度下降（SGD）

優(yōu)點(diǎn)：

計(jì)算效率高：由于每次迭代只處理一個(gè)樣本，隨機(jī)梯度下降的計(jì)算效率通常比批量梯度下降高得多，特別是在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時(shí)。
內(nèi)存消耗小：隨機(jī)梯度下降只需要加載一個(gè)樣本到內(nèi)存中，因此對(duì)于內(nèi)存的需求相對(duì)較低。
有助于跳出局部最小值：由于每次更新都是基于單個(gè)樣本的梯度，隨機(jī)梯度下降在優(yōu)化過程中具有更大的隨機(jī)性，這有助于模型跳出局部最小值，找到更好的全局最小值。

缺點(diǎn)：

收斂過程不穩(wěn)定：由于每次更新都是基于單個(gè)樣本的梯度，隨機(jī)梯度下降的收斂過程通常比批量梯度下降更不穩(wěn)定，可能會(huì)產(chǎn)生較大的波動(dòng)。
難以達(dá)到全局最優(yōu)：在某些情況下，隨機(jī)梯度下降可能會(huì)陷入局部最小值，而無法達(dá)到全局最優(yōu)解。
需要額外的技巧：為了提高隨機(jī)梯度下降的性能和穩(wěn)定性，通常需要采用一些額外的技巧，如逐漸減小學(xué)習(xí)率（學(xué)習(xí)率衰減）、使用動(dòng)量等。