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不同于線性模型【數(shù)學(xué)描述：f(W*X +b)】是通過(guò)數(shù)據(jù)樣本學(xué)習(xí)各個(gè)特征的合適權(quán)重，加權(quán)后做出決策。決策樹(shù)會(huì)選擇合適特征并先做特征劃分后，再做出決策（也就是決策邊界是非線性的，這提高了模型的非線性能力）。

一、樹(shù)模型的概括

決策樹(shù)呈樹(shù)形結(jié)構(gòu)，更通俗來(lái)講，樹(shù)模型的數(shù)學(xué)描述就是“分段函數(shù)”。如下一個(gè)簡(jiǎn)單判別西瓜質(zhì)量的決策樹(shù)模型示例（注：以下西瓜示例，數(shù)據(jù)隨機(jī)杜撰的，請(qǐng)忽略這么小的西瓜瓜~）：

學(xué)習(xí)這樣樹(shù)模型的過(guò)程，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是從有監(jiān)督的數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)一個(gè)較優(yōu)的樹(shù)模型的結(jié)構(gòu)：包含了依次地選擇特征、確定特征閾值做劃分的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)及最終輸出葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)值或類(lèi)別結(jié)果。

1、我們首先要拿到一些有關(guān)西瓜的有監(jiān)督數(shù)據(jù)（這些西瓜樣本已有標(biāo)注高/低質(zhì)量西瓜），并嘗試選用決策樹(shù)模型來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)劃分西瓜的任務(wù)。如下數(shù)據(jù)樣本示例：

2、后面也就是，憑著已知西瓜樣本的特性/特征【如：西瓜重量、西瓜顏色】，學(xué)習(xí)如何正確地劃分這些西瓜（歸納出本質(zhì)規(guī)律）。開(kāi)始學(xué)習(xí)之前，我們得確定一個(gè)樹(shù)模型在生長(zhǎng)的目標(biāo)（學(xué)習(xí)的目標(biāo)）。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，也就是在當(dāng)前節(jié)點(diǎn)以什么為目標(biāo)來(lái)指導(dǎo)怎么選擇特征及分裂，而劃分得好也就是要?jiǎng)澐殖龅母鹘M的準(zhǔn)確率（純度）都比較高。
3、然后，根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，簡(jiǎn)單的我們可以通過(guò)遍歷計(jì)算所有特征不同閾值的劃分效果。選擇各個(gè)的特征及嘗試特征的所有實(shí)際取值，看以哪個(gè)特征閾值劃分西瓜質(zhì)量的效果較好。這個(gè)過(guò)程也就是確定選擇特征及特征閾值劃分的優(yōu)化算法。
4、最終的，按照上面的步驟，我們逐個(gè)特征及取值試著去劃分后發(fā)現(xiàn)，根據(jù)西瓜重量的特征以300g作為劃分出了兩組，我們以葉子節(jié)點(diǎn)的大多數(shù)類(lèi)作為該節(jié)點(diǎn)的決策類(lèi)別。可能發(fā)現(xiàn)<300的組里面低質(zhì)量西瓜占比100%，>300 那組高質(zhì)量西瓜占比99%，整體分類(lèi)效果是不錯(cuò)的，最終就確定下了這樣的一個(gè)決策樹(shù)模型。

二、樹(shù)模型的要素

從上述例子，我們可以將樹(shù)模型的學(xué)習(xí)可以歸到經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)的4個(gè)要素：

2.0 已知(標(biāo)簽)的數(shù)據(jù)
2.1 樹(shù)模型的結(jié)構(gòu)（分段函數(shù)結(jié)構(gòu)：特征劃分+決策結(jié)果）
2.2 學(xué)習(xí)目標(biāo)
2.3 優(yōu)化算法

樹(shù)模型通過(guò)結(jié)合這幾個(gè)要素，更快更好地劃分特征空間，得出比較準(zhǔn)確的決策。如下對(duì)這幾個(gè)要素具體解析。

2.1 樹(shù)模型的結(jié)構(gòu)

樹(shù)模型的結(jié)構(gòu)也就是個(gè)分段函數(shù)，包含了選定特征做閾值劃分（內(nèi)部節(jié)點(diǎn)），以及劃分后賦值的分?jǐn)?shù)或類(lèi)別決策（葉子節(jié)點(diǎn)）。

2.1.1學(xué)習(xí)樹(shù)結(jié)構(gòu)的過(guò)程

學(xué)習(xí)樹(shù)模型的關(guān)鍵在于依據(jù)某些學(xué)習(xí)目標(biāo)/指標(biāo)（如劃分準(zhǔn)確度、信息熵、Gini不純度、均方誤差的增益量）去選擇當(dāng)前最優(yōu)的特征并對(duì)樣本的特征空間做非線性準(zhǔn)確的劃分，如上面西瓜的例子選擇了一個(gè)特征做了一次劃分（一刀切），通常情況下僅僅一刀切的劃分準(zhǔn)確度是不夠的，可能還要在前面劃分的樣本基礎(chǔ)上，繼續(xù)多劃分幾次（也就多個(gè)切分條件的分段函數(shù)，如 if a>300 且特征b>10 且特征c<100， then 決策結(jié)果1；），以達(dá)到更高的準(zhǔn)確度（純度）。

但是，隨著切分次數(shù)的變多，樹(shù)的復(fù)雜度提高也就容易過(guò)擬合，相應(yīng)每個(gè)切分出的小子特征空間的統(tǒng)計(jì)信息可能只是噪音。減少樹(shù)生長(zhǎng)過(guò)程的過(guò)擬合的風(fēng)險(xiǎn)，一個(gè)重要的方法就是樹(shù)的剪枝，剪枝是一種正則化：由于決策樹(shù)容易對(duì)數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)擬合，即生長(zhǎng)出結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜的樹(shù)模型，這時(shí)局部的特征空間會(huì)越分越“小”得到了不靠譜的“統(tǒng)計(jì)噪聲”。通過(guò)剪枝算法可以降低復(fù)雜度，減少過(guò)擬合的風(fēng)險(xiǎn)。

決策樹(shù)剪枝的目的是極小化經(jīng)驗(yàn)損失+結(jié)構(gòu)損失，基本策略有”預(yù)剪枝“和”后剪枝“兩種策略：①預(yù)剪枝：是在決策樹(shù)生成過(guò)程中，限制劃分的最大深度、葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)和最小樣本數(shù)目等，以減少不必要的模型復(fù)雜度；②后剪枝：是先從訓(xùn)練集生成一棵完整的決策樹(shù)，然后用用驗(yàn)證集自底向上地對(duì)非葉結(jié)點(diǎn)進(jìn)行考察，若將該節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子樹(shù)替換為葉子結(jié)點(diǎn)（剪枝）能帶來(lái)決策樹(shù)的泛化性能提升（即目標(biāo)函數(shù)損失更小，常用目標(biāo)函數(shù)如：loss = 模型經(jīng)驗(yàn)損失bias+ 模型結(jié)構(gòu)損失α|T|， T為節(jié)點(diǎn)數(shù)目, α為系數(shù)），則將該子樹(shù)替換為葉子結(jié)點(diǎn)。

2.1.2 復(fù)雜樹(shù)結(jié)構(gòu)的進(jìn)階

樹(shù)模型的集成學(xué)習(xí)

實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，淺層的樹(shù)很容易欠擬合，而通過(guò)加深樹(shù)的深度，雖然可以提高訓(xùn)練集的準(zhǔn)確度，卻很容易過(guò)擬合。

這個(gè)角度來(lái)看，單個(gè)樹(shù)模型是比較弱的，且很容易根據(jù)特征選擇、深度等超參數(shù)調(diào)節(jié)各樹(shù)模型的多樣性。正因?yàn)檫@些特點(diǎn)，決策樹(shù)很適合通過(guò)結(jié)合多個(gè)的樹(shù)模型做集成學(xué)習(xí)進(jìn)一步提升模型效果。

集成學(xué)習(xí)是結(jié)合一些的基學(xué)習(xí)器共同學(xué)習(xí)，來(lái)改進(jìn)其泛化能力和魯棒性的方法，主流的有兩種集成思想：

并行方式（bagging）：獨(dú)立的訓(xùn)練一些基學(xué)習(xí)器，然后（加權(quán)）平均它們的預(yù)測(cè)結(jié)果。代表模型如：Random Forests；

串行方式（boosting）：一個(gè)接一個(gè)的(串行)訓(xùn)練基學(xué)習(xí)器，每一個(gè)基學(xué)習(xí)器主要用來(lái)修正前面學(xué)習(xí)器的偏差。代表模型如：AdaBoost、GBDT及XGBOOST；（擴(kuò)展：像基于cart回歸樹(shù)的GBDT集成方法，通過(guò)引入了損失函數(shù)的梯度去代替殘差，這個(gè)過(guò)程也類(lèi)似局部的梯度下降算法）

線性決策樹(shù)

樹(shù)模型天然具有非線性的特點(diǎn)，但與此有個(gè)缺陷，樹(shù)模型卻學(xué)習(xí)不好簡(jiǎn)單的線性回歸！可以簡(jiǎn)單構(gòu)想下傳統(tǒng)決策樹(shù)表達(dá) y=|2x|這樣規(guī)律，需要怎么做？如?if x=1,then 2; x =3， then 6 .....；這樣窮舉顯然不可能的。這里介紹下線性決策樹(shù)，其實(shí)原理也很簡(jiǎn)單：把線性回歸加到?jīng)Q策樹(shù)的葉子節(jié)點(diǎn)里面（特征劃分完后，再用線性模型擬合做決策）。一個(gè)簡(jiǎn)單線性樹(shù)模型用分段函數(shù)來(lái)表示如：if x >0, then 2x;代表模型有 linear decision tree， GBDT-PL等模型。

2.2 學(xué)習(xí)目標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）

上文有提到，樹(shù)模型的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是讓各組的劃分的準(zhǔn)確率（純度）都比較高，減小劃分誤差損失（此處忽略了結(jié)構(gòu)損失T）。能達(dá)成劃分前后損失差異效果類(lèi)似的指標(biāo)有很多：信息熵、基尼系數(shù)、MSE損失函數(shù)等等都可以評(píng)估劃分前后的純度的增益，其實(shí)都是對(duì)分類(lèi)誤差的一種衡量，不同指標(biāo)也對(duì)應(yīng)這不同類(lèi)型的決策樹(shù)方法。

ID3決策樹(shù)的指標(biāo):信息增益（information gain）信息增益定義為集合 D 的經(jīng)驗(yàn)熵 H(D) 與特征 A 給定條件下 D 的經(jīng)驗(yàn)條件熵 H(D|A) 之差，也就是信息熵減去條件信息熵，表示得知特征X的信息而使得Y的信息的不確定性減少的程度（信息增益越大，表示已知X的情況下， Y基本就確定了）。

使用信息增益做特征劃分的缺點(diǎn)是：信息增益偏向取值較多的特征。當(dāng)特征的取值較多時(shí)，根據(jù)此特征劃分更容易得到純度更高的子集，因此劃分之后的熵更低，由于劃分前的熵是一定的，因此信息增益更大，因此信息增益比較偏向取值較多的特征。

C4.5決策樹(shù)的指標(biāo)：信息增益比

信息增益比也就是信息增益除以信息熵，這樣可以減少偏向取值較多信息熵較大的特征。

相應(yīng)的，使用信息增益比缺點(diǎn)是：信息增益比偏向取值較少的特征。綜上兩種指標(biāo)，可以在候選特征中找出信息增益高于平均水平的特征，然后在這些特征中再選擇信息增益率最高的特征。

Cart決策樹(shù)的指標(biāo)：基尼系數(shù)（分類(lèi)樹(shù)）或平方誤差損失（回歸）

與信息熵一樣（信息熵如下式）

基尼系數(shù)表征的也是事件的不確定性（不純度），也都可以看做是對(duì)分類(lèi)誤差率的衡量。

我們將熵定義式中的“-log(pi)”替換為 1-pi 也就是基尼系數(shù)，因?yàn)?log(pi)的泰勒近似展開(kāi)第一項(xiàng)就是1-pi。基尼系數(shù)簡(jiǎn)單來(lái)看就是熵的“平替版”，在衡量分類(lèi)誤差的同時(shí)，也簡(jiǎn)化了大量計(jì)算。

（注：由于分類(lèi)誤差為分段函數(shù)=1-max(p, 1-p) ，不便于微分計(jì)算，實(shí)際中也比較少直接用）

當(dāng)Cart應(yīng)用于回歸任務(wù)，平方誤差損失也就是Cart回歸樹(shù)的生長(zhǎng)指標(biāo)。

2.3 優(yōu)化算法

確認(rèn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，而依據(jù)這個(gè)指標(biāo)去學(xué)習(xí)具體樹(shù)結(jié)構(gòu)的方法（優(yōu)化算法），基本上有幾種思路：

暴力枚舉：嘗試所有可能的特征劃分及組合，以找到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的樹(shù)結(jié)構(gòu)。但在現(xiàn)實(shí)任務(wù)中這基本是不可能的。
自上而下的貪心算法：每一步（節(jié)點(diǎn)）都選擇現(xiàn)在最優(yōu)（信息增益、gini、平方誤差損失）的特征劃分，最終生成一顆決策樹(shù)，這也是決策樹(shù)普遍的啟發(fā)式方法，代表有：cart樹(shù)、ID3、C4.5樹(shù)等等
隨機(jī)優(yōu)化：隨機(jī)選擇特征及劃分方式，通常這種方法單樹(shù)的生長(zhǎng)較快且復(fù)雜度較高。模型的隨機(jī)性、偏差比較大（模型的方差相對(duì)較小，不容易過(guò)擬合，但是bias較大），所以常用集成bagging的思路進(jìn)一步優(yōu)化收斂。代表有：Extremely randomized trees（極端隨機(jī)樹(shù)）、孤立森林等等.

總結(jié)

樹(shù)模型也就是基于已知數(shù)據(jù)上，通過(guò)以學(xué)習(xí)目標(biāo)（降低各劃分節(jié)點(diǎn)的誤差率）為指導(dǎo)，啟發(fā)式地選擇特征去劃分特征空間，以各劃分的葉子節(jié)點(diǎn)做出較”優(yōu)”的決策結(jié)果。所以，樹(shù)模型有非常強(qiáng)的非線性能力，但是，由于是基于劃分的局部樣本做決策，過(guò)深（劃分很多次）的樹(shù)，局部樣本的統(tǒng)計(jì)信息可能失準(zhǔn)，容易過(guò)擬合。