大模型RAG技術：從入門到實踐
假設逆矩陣 ( A^{-1} ) 為：
a, b
c, d根據矩陣乘法的定義，我們可以得到以下方程組：
a + 2c = 1
b + 2d = 0
-a - 3c = 0
-b - 3d = 1解得 ( a = 3 ), ( b = 2 ), ( c = -1 ), ( d = -1 )。
此方法適用于小型矩陣的手動計算，可以有效地幫助理解逆矩陣的求解過程。
伴隨矩陣法是一種利用矩陣的伴隨矩陣和行列式來求逆矩陣的方法。通過計算伴隨矩陣，再除以行列式，便可以得到逆矩陣。
設矩陣 ( A ) 為：
1, 2
-1, -3其伴隨矩陣 ( A^* ) 為：
-3, -2
1, 1行列式 ( |A| ) 為：
1*(-3) - (-1)*2 = -1因此，逆矩陣 ( A^{-1} = frac{A^}{|A|} = -A^ ) 為：
3, 2
-1, -1此方法適用于較小且計算復雜度不高的矩陣，尤其是在確定行列式不為零時。
初等變換法通過將矩陣轉換為單位矩陣，同時對單位矩陣進行相同的初等變換，從而得到逆矩陣。
首先寫出增廣矩陣 ( A|I ) ：
1 2 1 0
-1 -3 0 1然后進行一系列初等行變換：
1 2 1 0
0 -1 1 11 0 3 2
0 -1 1 11 0 3 2
0 1 -1 -1此方法適用于通過一系列行操作求逆的情況，特別是在進行矩陣變換時。
轉置矩陣是通過將矩陣的行和列互換得到的新矩陣。對于矩陣 ( A ) 的轉置，記為 ( A^T )。
轉置矩陣的行列式值不變。以下是其運算性質：
轉置矩陣在矩陣運算中經常被使用，尤其是在線性代數和幾何變換中。
逆矩陣是指矩陣 ( A ) 存在一個矩陣 ( A^{-1} )，使得 ( A times A^{-1} = I )，其中 ( I ) 為單位矩陣。
逆矩陣常用于求解線性方程組、矩陣變換中的逆變換以及圖形學中的幾何變換。
在三維圖形學中，逆矩陣用于將變換后的坐標還原到原始坐標。
逆矩陣具有多種運算性質，使得復雜的矩陣運算得以簡化和統一。
這些性質在矩陣的組合運算、變換和求解中具有重要作用。
在三維圖形學中，矩陣逆運算用于變換坐標系、計算光影效果等。
通過逆矩陣，可以將物體從世界坐標系轉換回局部坐標系，實現物體的旋轉、縮放和移動的逆變換。
在著色器編程中，逆矩陣用于計算光源位置和觀察位置的變換。
