綜合除法計算器 綜合除法計算器 計算器
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更新時間：2025.09.09
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API在線試用與對比

合成除法計算器API產品，通過展示中間步驟幫助用戶進行多項式的合成除法，支持非首一與二次除數處理，輔助查找零點和因式分解。

綜合除法計算器驗證工具

被除多項式系數
除數系數
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async function calculatorSyntheticDivision() {
    
    
    let url = 'https://openapi.explinks.com/您的username/v1/calculator_synthetic_division/saf2025090923472215bcf6';
    
    const options = {
        method: 'POST',
        headers: {
            'Content-Type': 'application/json',
            'x-mce-signature': 'AppCode/您的Apikey'
        },
        body: {"dividendCoefficients":[0],"divisorCoefficients":[0]}
    };
    
    try {
        const response = await fetch(url, options);
        const data = await response.json();
        
        console.log('狀態碼:', response.status);
        console.log('響應數據:', data);
        
        return data;
    } catch (error) {
        console.error('請求失敗:', error);
        throw error;
    }
}

// 使用示例
calculatorSyntheticDivision()
    .then(result => console.log('成功:', result))
    .catch(error => console.error('錯誤:', error));

更快的集成到AI及應用

無論個人還是企業，都能夠快速的將API集成到你的應用場景，在多個渠道之間輕松切換。

API特性

精準計算，輕量返回
AI 模擬渠道
極簡集成體驗
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產品介紹
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綜合除法計算器

歡迎使用我們的綜合除法計算器！它可以幫助您執行多項式的綜合除法，同時顯示所有中間步驟！

您是否想過什么是綜合除法？您需要學習如何進行綜合除法嗎？我們將教您關于使用綜合除法進行多項式除法的所有知識，提供帶有步驟的綜合除法示例，并解釋如何使用綜合除法查找零點。作為額外福利，我們還將向您展示如何處理非單項式和二次除數！

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多項式的基本概念

在解釋如何使用綜合除法進行多項式除法之前，讓我們回顧一些基本概念：

  1. 多項式是涉及至少一個變量的非負整數冪之和的表達式，每個冪都乘以實數（或復數），我們稱之為系數。
  2. 一個關于變量x的多項式表示為: a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，其中a_n, a_(n-1),..., a_1, a_0是系數。
  3. 多項式的次數是多項式中存在的最大指數值（具有非零系數）。
  4. 多項式的除法類似于帶余數的整數除法，對于兩個多項式P(x)和D(x)，總存在唯一的Q(x)和R(x)，使得: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)，且R(x)的次數小于D(x)的次數。

多項式除法中的術語類似于算術中的術語：P(x)稱為被除數，D(x)是除數，Q(x)是商，R(x)是余數。標準的計算方法是多項式長除法，而綜合除法則是一種更快捷的方法。

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綜合除法的基本原理

綜合除法是一種多項式除法的快捷方式，只涉及被除數和除數的系數，通過基本算術運算得到商和余數的系數。

綜合除法最常用于以下三種情況：

1. 線性單項式除數 (x-b):

最常見的形式，特別適用于驗證某數是否為多項式的根。設置一個三行表格：第一行放被除數系數，第二行左側放b值，第三行通過特定算法填充，最終得到商的系數和余數。

2. 非單項式線性除數 (b?x+b?):

處理更通用的線性除數，需要四行表格：第一行放被除數系數，第二行開頭放-b?，第四行放除數的首項系數b?，第三行通過特定算法填充。

3. 二次多項式除數 (c?x2+c?x+c?):

處理更復雜的二次除數，需要特殊的表格結構，將-c?放在第二行，-c?放在第三行并向左偏移，形成左下對角線，最后一行放c?，通過對角線計算完成除法。

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綜合除法計算示例

讓我們通過示例來理解如何執行綜合除法計算：

示例1: 用 (x-2) 除以 3x3-8x-9

1. 設置表格，第一行放系數: [3, 0, -8, -9]（注意x2項缺失，所以添加0）

2. 第二行左側放b=2

3. 將首項系數3直接下降到第三行

4. 將3乘以2=6，放在下一列

5. 將0和6相加=6，放在第三行

6. 將6乘以2=12，放在下一列

7. 將-8和12相加=4，放在第三行

8. 將4乘以2=8，放在下一列

9. 將-9和8相加=-1，放在第三行

計算結果：

表格最終形式：

| 3 0 -8 -9

x2| 6 12 8

| 3 6 4 -1

商的系數：[3, 6, 4]，表示 3x2 + 6x + 4

余數：-1（由于余數不為0，所以2不是原多項式的根）

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綜合除法的應用

綜合除法在數學中有許多重要應用，特別是在多項式分析和處理方面：

查找多項式零點： 綜合除法是驗證潛在多項式零點的有效工具。如果多項式p除以(x-b)的余數為0，則b是p的零點/根。這基于多項式余數定理，該定理指出多項式p在x=b處的值等于p(x)除以(x-b)的余數。

相比于直接代入值計算，綜合除法需要更少的乘法運算，因此計算效率更高。這在處理高次多項式時尤為明顯。

多項式因式分解： 綜合除法是多項式因式分解的重要工具。通過找到多項式的根，可以將多項式分解為線性因子的乘積。具體步驟如下：

  1. 使用有理根定理列出所有潛在的有理根
  2. 使用綜合除法驗證每個候選根
  3. 找到一個根后，從原多項式中因式分解出(x-根)
  4. 對剩余的商多項式重復此過程
  5. 繼續直到完全分解或得到無法進一步分解的二次多項式
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相關數學概念

了解以下相關概念有助于更全面地理解綜合除法：

多項式余數定理 (小貝祖定理)： 對于多項式p(x)和數值b，p(b)等于p(x)除以(x-b)的余數。這是綜合除法在驗證零點時有效性的理論基礎。

因子定理： 數值b是多項式p(x)的零點，當且僅當(x-b)是p(x)的因子。綜合除法可以快速驗證這一點，通過檢查除以(x-b)后的余數是否為0。

有理根定理： 對于整系數多項式，如果p/q是其有理根（以最簡分數形式表示），則p是常數項的因子，q是首項系數的因子。這有助于縮小潛在有理根的搜索范圍。

魯菲尼法則 (Ruffini's Rule)： 綜合除法有時也被稱為魯菲尼法則，因為它是由意大利數學家保羅·魯菲尼(Paolo Ruffini)在1804年首次描述的。

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常見問題

綜合除法和多項式長除法有什么區別？

綜合除法和多項式長除法都是用于多項式除法的方法，但綜合除法更為簡潔高效。長除法需要寫出完整的多項式表達式，而綜合除法只處理系數，通過特定的表格和算法直接計算。綜合除法尤其適合線性除數(x-b)，但也可擴展到更復雜的除數。兩種方法得到的結果完全相同，只是計算過程不同。

如何使用綜合除法驗證零點？

要驗證數值b是否為多項式p(x)的零點，只需將p(x)用綜合除法除以(x-b)。如果得到的余數為0，則b是p(x)的零點；如果余數不為0，則b不是零點。這基于多項式余數定理，該定理指出多項式p在x=b處的值等于p(x)除以(x-b)的余數。這比直接代入值計算p(b)更高效，尤其對于高次多項式。

綜合除法可以用于什么類型的除數？

綜合除法可以用于多種類型的除數，包括：1) 線性單項式除數(x-b)，這是最常見和簡單的形式；2) 線性非單項式除數(b?x+b?)，需要額外的步驟；3) 二次多項式除數(c?x2+c?x+c?)或更高次多項式除數。雖然綜合除法原則上適用于任何多項式除數，但隨著除數次數的增加，計算過程會變得更復雜。對于非常高次的除數，可能傳統的長除法或計算機代數系統更為實用。

API接口列表
綜合除法計算器
綜合除法計算器
1.1 簡要描述
綜合除法計算器
1.2 請求URL
/[[username]]/v1/calculator_synthetic_division/[[function-no]]
1.3 請求方式
POST
1.4 入參
參數名 參數類型 默認值 是否必傳 描述
dividendCoefficients array [1,0,-2,0] 否 被除多項式的系數數組，按降冪排列（從高次項到常數項）。例如：[3,0,-8,-9]表示3x3-8x-9
divisorCoefficients array [2] 否 除數的系數數組。根據除數類型有不同的含義： - 一次單項式(x-b)：只需提供[b]，如[2]表示x-2 - 一次非單項式：提供[b?,b?]，如[2,1]表示2x+1 - 二次多項式：提供[c?,c?,c?]，如[2,-4,5]表示2x2-4x+5
1.5 出參
參數名 參數類型 默認值 描述
quotientCoefficients array 多項式除法得到的商的系數，按降冪排列
divisionTable array 綜合除法計算表格的行表示
remainderCoefficients array 多項式除法得到的余數的系數，按降冪排列。如果被除數能被整除，則為[0]
isZero boolean false 當除數為一次單項式(x-b)時，指示b是否為原多項式的零點/根
divisionExpression string 格式化的多項式除法表達式，如：(3x3-8x-9)÷(x-2)=3x2+6x+4-1/(x-2)
1.6 錯誤碼
錯誤碼 錯誤信息 描述
FP00000 成功
FP03333 失敗
1.7 示例 
參考上方對接示例